કાઈ-વર્ગ કસોટી

                         કાઈ-વર્ગ કસોટી 

કાઈ-વર્ગની સંકલ્પના :-

                           કાઈ-વર્ગની સંકલ્પના ઈ.સ. 1900માં કાર્લ પીયર્સને આપી.  કાઈ-વર્ગ એ ઉત્કલ્પના હકીકતથી કેવી વિચલીત છે તે દર્શાવતો આંક છે જ્યારે આપેલી માહિતી આવૃત્તિ સ્વરુપે હોય ત્યારે શૂન્ય ઉત્કલ્પનાની ચકાસણી માટે કાઈ-વર્ગ કસોટી ખૂબ જ ઉપયોગી બને છે. સામાન્ય રીતે શૈક્ષણિક અને સામાજિક પ્રશ્નોના ઉત્તરો મેળવતી વખતે માહિતી આવૃત્તિના સ્વરુપમાં મળતી હોય છે. તેથી કાઈ-વર્ગ કસોટી, આવા પ્રશ્નોનાનાં ઉત્તરો ખૂબ જ સરળતાથી આપી શકે છે. આમ કાઈ-વર્ગ કસોટીએ, પ્રયોગ દ્ધારા મળેલાં પરિણામો, અપેક્ષિત પરિણામ સાથે તુલના કરવાનું સાધન છે.

કાઈ-વર્ગની કસોટીની વ્યાખ્યા :-

                           કોઈજ પણ પ્રયોગમાં નિરીક્ષીત (મળેલી)

આવૃત્તિ તથા કોઈ સિદ્ધાંતને આધારે નક્કી કરેલી આવૃત્તિ

વચ્ચે કોઈ સાર્થક તફાવત છે કે નહીં તે નક્કી કરવાની કસોટીને કાઈ-વર્ગ કસોટી કહે છે. તેને સંકેતમાં x વડે દર્શાવાય છે.
         કાઈ-વર્ગ કસોટીમાં અપેક્ષિત આવૃત્તિ - fe નક્કી કરવાની બે રીતો છે :
1.સમાન સંભવની રીત 
2. સમધારણ સંભવની રીત

કાઈ-વર્ગનું સૂત્ર :-
                         

જ્યાં f0 = અવલોકનની આવૃત્તિ અથવા નિરીક્ષીત આવૃત્તિ
       fe = અપેક્ષિત આવૃત્તિ કે કોઈ સિદ્ધાંત કે ઉત્કલ્પનાના 
               આધારે મેળલી આવૃત્તિ.

કાઈ-વર્ગ કસોટીની પૂર્વધારણા :-
1. બે નિદર્શ એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ. અર્થાત્      
    અસહસંબંધિત નિદર્શ હોવા જોઈએ.
2. પ્રત્યેક જૂથમાં નિદર્શના પાત્રો એકબીજાથી સ્વતંત્ર્યપણે 
    યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલાં હોવા જોઈએ.
3. પ્રત્યેક અવલોકન માત્ર એક જ વિભાગ કે કક્ષા માટે હોવા 
     જોઈએ.
4. નિદર્શમાં પાત્રોની સંખ્યા પ્રમાણમાં વધુ હોવી જોઈએ.

કાઈ-વર્ગમાં સ્વાતંત્ર્ય સંખ્યા :-
                   કાઈ-વર્ગમાં સ્વાતંત્ર્ય સંખ્યા તેમાં આપેલી આસંગ માહિતીને આધારે નક્કી થાય છે. આપેલી માહિતીમાં આડી હારની સંખ્યા અને ઉભા કોલમની સંખ્યાને આધારે કાઈ-વર્ગની  સ્વાતંત્ર્ય સંખ્યા મળે છે. તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે.
 સ્વાતંત્ર્ય સંખ્યા df =(r - 1) (c - 1)
જ્યાં  r = હારની સંખ્યા
        c = સ્તંભની સંખ્યા

કાઈ-વર્ગ કસોટીના ઉપયોગો :-
- એક નિદર્શ કે ચલ માટે  Good-of-Fitness કસોટી તરીકે ઉપયોગી છે.
-આપેલું પ્રાપ્ય વિતરણ સમધારણા વિતરણ અન્ય વિતરણ સાથે અનુરુપ છે કે કેમ તેની ચકાસણી  Good-of-Fitness માં થાય છે. 
- બે કરતાં વધારે નિદર્શ વચ્ચેના તફાવતના પરીક્ષણની તરીકે X2 કસોટી ઉપયોગમાં લેવાય છે.
- અન્ય અપ્રાચલીય કસોટીઓમાં પ્રાપ્ત થયેલ કિંમતોની સાર્થકતા કાઈ-વર્ગ કસોટી વડે ચકાસી શકાય છે.
- ગણતરી તથા અર્થઘટનની ર્દષ્ટિએ કાઈ-વર્ગ કસોટી સરળ હોવાથી સામાજિક તથા વર્તનનાં વિજ્ઞાનોમાં તેમજ શિક્ષણશાસ્ત્રમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ જોવા મળે છે.

કાઈ-વર્ગ શોધવાની રીતો :- 
કાઈ-વર્ગ શોધવાની મુખ્ય ચાર રીતો છે.
1. સમાન સંભવની રીત 
               આ રીતમાં મળેલી  આવૃત્તિ f0 ના જેટલા પેટા વિભાગ આપેલા હોય તે મુજબ કુલ આવૃત્તિ સમાન પેટા વિભાગોમાં વહેંચી દેવામાં આવે છે. જેને અપેક્ષિત આવૃત્તિ fe તરીક ઓળખવામાં આવે છે. ટૂંકમાં આ સમાન રીતમાં અપેક્ષિત આવૃત્તિ fe સમાન રીતે મેળવવામાં આવે છે. તેથી તેને સમાન સંભવની રીત કહે છે.
2. સમધારણ વિતરણની રીત
                      આ રીતમાં X2ની ગણતરી વખતે અપેક્ષિત આવૃત્તિ સમધારણ રીતે વિસ્તરેલી છે. તેમ માની કુલ આવૃત્તિને
સમધારણ વક્ર રેખાને આધારે વિભાજન કરવામાં આવે છે. તેથી આ રીતેને સમધારણ વિતરણની રીત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
3. આસંગ સારણીની રીત 
                       બે કે બેથી વધારે ગુણાત્મક કે સંખ્યાત્મક માહિતી દ્ધિપરીમાણ દર્શક સારણી વડે દર્શાવવામાં આવે ત્યારે 
તેને આસંગ માહિતી કહે છે અને આવી સારણીને આસંગ સારણી કહે છે.
                    આ માહિતીની ચલ રાશિના સંબંધિત છે કે નહીં તે X2વડે જાણી શકાય છે. આસંગ સારણીનું સાદું સ્વરુપ 2x2 સારણી તથા 2x3, 3x2, 3x3 સ્વરુપે પણ મળી શકે છે. 
               આસંગ સારણી વડે બે કે તેથી વધારે ચલ રાશિના વિતરીત થયેલા લક્ષણો કે ગુણો વચ્ચેનો સંબંધ નકકી કરી શકાય છે. 
4. 2x2 સારણીની રીતે X2 ની ગણતરી :-
                       કેટલીક વાર   માહિતી 2x2 સારણીમાં દર્શાવી હોય છે. આવે વખતે અપેક્ષિત મેળવ્યા સિવાય પણ  X2  ની ગણતરી  કરી શકાય છે. એટલે કે માહિતી દ્ધિ- પારિમાણ દર્શક સારણીમાં હોય તો આ રીતે કાઈ-વર્ગની કિંમત શોધવામાં આવે છે. આ રીતમાં  કાઈ-વર્ગનું સૂત્ર આ મુજબ છે: 

     અહીં  2x2 સારણીમાં  Aઅને B ની કિંમતો પ્રથમ હાર (Row-one)- R1માંથી  આપવામાં આવે છે. જ્યારે Cઅને D ની કિંમત બીજી હાર R2 માંથી  આપવામાં આવે છે.

પ્રથમ હારનું કુલ R1નું કુલ =(A+B) R2નું કુલ =(C + D) 
પ્રથમ સ્તંભ C1નું કુલ = (A+C) C2નું કુલ =(B+D) થશે.
કુલ આવૃત્તિને GT-grand total કે N વડે દર્શાવાય છે.
 અહીં df =(r-1) (c-1)
             =(2-1) (2-1)
             =(1) (1)
             =1  હંમેશા મળે છે.
         જ્યારે 2x2 સારણીમાં આવૃત્તિ સંખ્યા ખૂબ જ ઓછી હોય તો યેટનો સુધારો લાગુ પાડવામાં આવે છે.જેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે.

યેટના સુધારા સાથે X2નું સૂત્ર :-
             

            
                 યેટનો સુધારો લાગુ કરવાથી કાઈ-વર્ગની કિંમત ઘટે છે. તેથી X2ની કિંમત સુધારતા પહેલાં સાર્થક ન હોય તો સુધારા પછી સાર્થક પાછી સાર્થક મળતી નથી. તેથી આવા સંજોગોમાં યેટનો સુધારો લાગુ પાડવાની જરુરિયાત રહેતી નથી.